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Notapor Rasku » 23 Mar 2015, 05:09

Esto es un tema que me he aprendido para las opos. Escrito todo de memoria como debe ser, y que os pongo aquí para vuestro provecho y porque es un tema interesante. Imaginaos cómo serán los demás.

Spoiler:
Breve historia de los números

Índice

1. Evolución histórica del concepto de número.
1.1. Prehistoria.
1.2. Los mayas.
1.3. Sumeria.
1.4. Egipto.
1.5. Grecia.
1.6. Roma.
1.7. China.
1.8. La India.
1.9. El Islam.
1.10. La Europa moderna.
2. Formalización actual de los conjuntos numéricos.

1. Evolución histórica del concepto de número.

1.1. Prehistoria.

La operación matemática más sencilla es la de contar, y en respuesta a ella surgen de forma espontánea, como una de las expresiones más primitivas del lenguaje, los números naturales. Los conceptos más arcaicos son los que se refieren a categorías como mucho o poco, individuo, pareja o grupo, todo o nada. Los símbolos más antiguos que podemos identificar como cifras constan de simples puntos o rayas, representando el 1. Éste es el sistema de numeración más antiguo y también el más simple: de funcionamiento aditivo, un número se representa con el mismo número de unos.
Paralelamente al desarrollo del lenguaje, las distintas culturas van desarrollando símbolos más variados, frecuentemente correspondientes al 5 y al 10, por la costumbre universal de contar con los dedos de las manos. En general los símbolos numéricos surgen antes que las palabras para dar nombre a los números.

1.2. Los mayas.

Un ejemplo de sistema de numeración aditivo con pocos símbolos es el sistema maya. Este pueblo de Centroamérica utilizaba un punto para el 1, una raya horizontal para el 5, y un óvalo para el cero, adelantándose milenios al Viejo Mundo en lo tocante al uso de esta cifra. Otros pueblos amerindios como los incas no usaban símbolos, sino que llevaban la contabilidad mediante nudos en cuerdas, donde cada cuerda de una estera o quipu representa un orden decimal.

El detalle de la posición de las cuerdas, como en un ábaco, indica la noción de posición relativa de la cifra. Por lo demás, el sistema maya continúa siendo aditivo, es decir cada número se expresa añadiendo los símbolos necesarios para que con sus valores sumen el número representado, sin importar el orden. P.Ej. tres rayas y dos puntos significa 17.

1.3. Sumeria.

El desarrollo del alfabeto el cuarto milenio a.C. se enmarca en una revolución cultural en Mesopotamia que trajo consigo el alfabeto y avances técnicos trascendentales como la rueda. Los sumerios, partiendo del primitivo sistema de unos representados por cuñas sobre arcilla (al igual que todo su alfabeto), desarrollaron el sistema sexagesimal que aún hoy persiste en la medida del tiempo y los ángulos.

Además se han hallado tablas de multiplicar y de los inversos de números naturales que fueran fáciles de representar en sexagesimal, lo que supone la aparición de los números racionales.

También manejaban la resta, aunque sin la noción de número negativo.

1.4. Egipto.

El sistema de numeración desarrollado por los antiguos egipcios era posicional con cinco símbolos o cifras: Jeroglíficos para los valores 1, 10, 100, 1 000 y 1 000 000. Tiene el mérito de conseguir representar grandes números con sólo cinco cifras, pero resultaba sumamente engorroso para operar.

El conocido como papiro de Rhind contiene una colección de problemas resueltos con lo que hoy llamamos fracciones, pero sólo aparecen fracciones unitarias: 1/n, n€R, expresando otras fracciones como suma de éstas. Salvo, curiosamente, 2/5 que tiene símbolo propio. Una prueba más, aunque aislada, del manejo de números racionales en la antigüedad.

1.5. Grecia.

Los antiguos griegos usaban un sistema de numeración aditivo con 27 símbolos: letras griegas y fenicias (con una tilde para indicar que eran cifras) para los primeros naturales del 1 al 9, múltiplos del 10 hasta el 90 y múltiplos del 100 hasta el 900. Suponía una ventaja respecto al sistema egipcio porque abreviaba la escritura, pero no era eficaz con números grandes.

El mérito más reconocido a los griegos ha sido su aritmética racional o “teoría de las magnitudes” durante el primer milenio a.C.: desde Thales de Mileto se inicia una tradición filosófica que estudia las matemáticas como una ciencia autónoma, la cual tiene en la obra Los Elementos de Euclides su máxima expresión. Este volumen fue referente incluso cuando en la Edad Contemporánea se inauguraron las matemáticas “no euclídeas”. Los griegos manejaban fracciones con la idea de que eran relaciones entre números naturales (magnitudes), no números “verdaderos”. La escuela pitagórica halló que ciertas magnitudes no podían expresarse como cociente de naturales, p.e. pi o la raíz de dos, y las llamó irracionales (alogos). Siempre apoyándose en la geometría, buscaron distinguir qué magnitudes podían expresarse como fracciones y cuáles no, es decir el concepto de divisibilidad. El método gráfico consiguió demostraciones para teoremas como los productos notables o el teorema de Pitágoras.

1.6. Roma.

Los romanos introdujeron la noción de posición relativa de cifras con su sistema de numeración: de todos sus símbolos (I, V, X, L, C, D, M, que representan respectivamente 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000) sólo I, X, C, tienen valores relativos a la posición: a la derecha de otra cifra se suman y pueden repetirse hasta tres veces, a la izquierda se restan. Una barra encima de la letra multiplica su valor por mil. Aunque es un avance respeto a sistemas aditivos puros, aún está lejos de la eficacia del sistema decimal. Pese a todo, fue utilizado en Europa en contabilidad hasta el s. XVIII y aún lo usamos para numerar siglos.

1.7. China.

Con independencia casi total del resto del mundo, los chinos desarrollaron una aritmética en la que era cotidiano utilizar números negativos, gracias al tradicional sistema de varillas de dos colores, uno para positivos y otro para negativos. Sin embargo no consideraban que un número negativo fuera una solución válida para una ecuación, es decir era una mera regla de cálculo. Su sistema es decimal y posicional y sigue usándose marginalmente hoy, aunque estuvo lastrado hasta la aparición del cero.

1.8. La India.

El principio de posición relativa, ya manejado por los incas y los chinos, otorga a cada posición en la cifra una potencia del número base, que se multiplica por la cifra que ocupa la posición. La sistematización de este sistema, concretamente con base 10, requiere del uso de un símbolo para el cero y otros nueve símbolos para los primeros naturales hasta el 9. Todo ello fue aportado a nuestra tradición por la cultura hindú en la obra de Bramahgupta, incluyendo una coherencia teórica para los positivos, los negativos y el cero, lo que hoy llamamos conjunto Z. Este sistema desplazaría con el tiempo a todos los demás por su sencillez de cálculo y su ductilidad par añadir nuevos símbolos como raíces, exponentes, etc.

1.9. El Islam.

En la época del imperio islámico destaca la figura de Al Khwarizmi, el árabe que, entre otros trabajos como la solución de la ecuación de segundo grado, divulgó en su cultura el sistema indio (por lo que en Europa sería llamado arábigo o indoarábigo) dando al cero plena aceptación como cifra. De hecho la etimología de “cero” y de “cifra” es el árabe “cerf” (nada). De los números arábigos conservamos el sistema y el sentido de la escritura de derecha a izquierda, aunque los diez símbolos han sufrido modificaciones dialectales. La expansión del sistema decimal, por su eficacia, fue desplazando métodos auxiliares como el ábaco o el cálculus (contar con guijarros).

1.10. Europa.

Antes del Renacimiento cabe mencionar a Leonardo Fibonacci de Pisa (s. XIII) quien gracias a sus viajes y a sus maestros musulmanes introdujo en Europa el sistema decimal.

Ya en el s. XVI, se produce un hito con la publicación del Gran Arte de las Reglas del Álgebra (conocida como Ars Magna), obra del italiano Cardano que incluye la solución de la ecuación de tercer y cuarto grado, incluyendo por primera vez las raíces complejas. Una obra tan completa requirió que Cardano añadiera a sus propios descubrimientos los de sus alumnos y plagios a competidores como Tartaglia o Ferro.

A pesar de manejar con soltura números negativos y raíces complejas de polinomios, éstos no tenían la consideración de números.

En el s. XVII Descartes publica su Ensayo del Método, donde se expone cuántas raíces positivas tiene un polinomio y cuántas negativas, y Fermat enuncia sus famosos teoremas, el mayor de los cuales no fue demostrado hasta 1993 por Wiles. Newton y Leibniz son los padres del análisis de funciones.

Pero fue Euler quien dio un impulso a los números complejos, nombrando “i” a la unidad imaginaria y al número pi, además de hallar el número e y establecer, como su obra cumbre, la famosa igualdad e^(i•pi)+1=0. que reúne cinco de los números más importantes en aritmética.

Gauss nos introduce en la Edad contemporánea. Entre la multitud de avances del “Príncipe de las Matemáticas” destaca el isomorfismo entre el cuerpo de los complejos y el plano cartesiano, la notación a+bi, el álgebra de las congruencias y el teorema fundamental del álgebra: todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas. La obra de Gauss supuso la plena aceptación de los complejos como números.

Con la independización y abstracción creciente de las matemáticas, surgieron inquietudes como crear un conjunto numérico isomorfo con el espacio, así como los reales lo son con la recta y los complejos con el plano, y dar coherencia lógica a todas las matemáticas precedentes. No tanto porque se dudara de su veracidad, sino para evitar contradicciones lógicas.

Hamilton diseñó el anillo de los cuaterniones (quaternions) al no poder hallar un álgebra de tres dimensiones que tuviera la estructura deseada. Cauchy, Bolzano y Weistrass avanzaron el estudio de la topología de la recta y la teoría de sucesiones, permitiendo una definición formal para los reales.

Peano formuló los famosos axiomas del los números reales, que sirven de fundamento lógico a toda la aritmética reconstruida con coherencia teórica y explicitan todas las hipótesis ocultas en las matemáticas tradicionales. Así se estructuró la teoría moderna de los conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, reales, complejos y cuaterniones, en un orden que no coincide con su desarrollo histórico.

2. Formalización actual.

Los números naturales (N) son el conjunto numérico fundamental y responden a la necesidad de contar. Pueden construirse por los cinco axiomas de Peano, y en ellos se definen la adición y la multiplicación. N tiene estructura de semianillo conmutativo unitario.
En él no puede resolverse la ecuación x+a=0.

Los números enteros o conjunto Z se definen a partir de las clases de equivalencia de pares de naturales que cumplan (a,b)~(c,d)  a+d=c+b. (Es decir, pares que tengan la misma diferencia aun cuando ésta sea <0). Z es el conjunto cociente de N^2/~ . Definiendo en Z la adición y la multiplicación, resulta ser un anillo conmutativo y unitario, en el cual se puede resolver x+a=0 pero no siempre ax+b=0.

Los números racionales o conjunto Q se definen a partir de fracciones: cada racional es la clase de equivalencia de pares de fracciones tales que a/b ~ c/d  a•d=c•b. Q es el conjunto cociente entre el conjunto de fracciones y la equivalencia. Definiendo el él la adición y la multiplicación, tenemos que Q es un cuerpo conmutativo y unitario. Ecuaciones como x^2=2 no tienen solución en él.

Los números reales se definen como clases de equivalencia entre sucesiones de números racionales que surgen al calcular sucesivas aproximaciones a la solución de una ecuación que no tiene solución en Q. La equivalencia entre dos sucesiones consiste en tener el mismo límite y que este no sea racional, la llamada condición de regularidad en Q. El conjunto cociente R es un cuerpo conmutativo unitario, pero no permite solucionar ecuaciones como x^2=-1.

El espacio vectorial de los números complejos © viene a solucionar esto. Se define como un conjunto de pares de reales, con las leyes de adición y multiplicación apropiadas para que, prescindiendo de la relación de orden, el conjunto C contenga las soluciones a todas las operaciones algebraicas posibles.

Cada uno de estos conjuntos está inmerso en los superiores, al ser isomorfo de una parte del inmediato superior. Así los naturales son los enteros positivos (salvo el cero), los enteros son las fracciones de denominador 1, los racionales son los reales representables por una fracción, los reales son los complejos sin parte imaginaria.

Finalmente, los cuaterniones son un anillo formado por cuaternas de reales y donde (1,0,0,0) es la unidad real, (0,1,0,0) es la unidad imaginaria y (0,0,1,0) y (0,0,0,1) son dos nuevas unidades en un conjunto que, con las apropiadas definiciones para la adición y la multiplicación, puede representar todo el espacio.
Si quieres verme, vas a tener que asumir
que hay ciertas cosas que me alejarán de ti.

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